Author Picture

প্ল্যাঙ্ক এর সুত্র এবং আলো-কোয়ান্টাম প্রস্তাবনা

শরিফ মোহাম্মদ রেজওয়ান সিদ্দিকী

সত্যেন্দ্রনাথ বসু ও আইনস্টাইনের চিঠির আদান প্রদান ও ফলশ্রুতিতে বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান নামে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি নতুন ধারণার সূচনা কাহিনি এখন বাংলাভাষীদের কাছে কিংবদন্তীতে পরিণত হয়েছে। সত্যেন বসু সে সময়ে ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে কর্মরত ছিলেন। বাংলা ইউকিপিডিয়া ও অন্যান্য কিছু অনলাইন প্লাটফর্মের সুবাদে জানা যাচ্ছে যে তিনি গবেষণা প্রবন্ধটি প্রথমে একটি বিখ্যাত জার্নালে প্রকাশের জন্য পাঠিয়েছিলেন। সেখান থেকে প্রত্যাখ্যাত হলে, তিনি সরাসরি আইনস্টাইনকে চিঠি লেখেন প্রবন্ধটি পাঠিয়ে। আইনস্টাইন সেটিকে জার্মান ভাষায় অনুবাদ করেন ও “সাইটশ্রিফট ফর ফিজিক্স’-এ প্রকাশের ব্যবস্থা করেন। প্রবন্ধটি প্রকাশিত হয়েছিল ১৯২৪ সালে। সেই থেকে সূত্রপাত বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যানের।
প্রবন্ধটি আগে বাংলাতে অনুদিত হয়েছে কি না জানা নেই। তবে এই চমৎকার অনুবাদের জন্য আমার স্কুল জীবনের বন্ধু শরীফকে ধন্যবাদ ও অভিনন্দন জানাই। শরীফ প্রবন্ধটির প্রথম অনুবাদ করেছিল, ২০১৩ সালের জানুয়ারির দিকে। নানা কারণে খসড়া অনুবাদ থেকে পূর্ণাঙ্গ অনুবাদ সে সময়ে করা হয়ে ওঠেনি। এই অনুবাদের একটা ছোট্ট প্রেক্ষাপট আছে। সে সময়ে আমরা কয়েকজন বন্ধু মিলে বিজ্ঞান ও গণিতের কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গবেষণা প্রবন্ধ বাংলাতে অনুবাদের কথা ভেবেছিলাম। নানা কারণ সে কাজটাকেও এগিয়ে নেয়া যায়নি। সে উদ্যোগের একমাত্র ফসল এই অনুবাদটি। তবু আমার মতে এটি বাংলা ভাষায় বিজ্ঞান গবেষণার পরিবেশ সৃষ্টিতে গুরুত্বপূর্ণ ভুমিকা রাখতে সক্ষম। আশা করি যারা বাংলাতে গবেষণা চর্চা বৃদ্ধিতে আগ্রহী তারা এর ধারাবাহিকতায় নিজেদের উদ্যোগে কিছু মৌলিক কাজের অনুবাদ করবেন। এছাড়া প্রবন্ধটি যেভাবে রচিত হয়েছে তা থেকেও শিক্ষার নেবার আছে। বিজ্ঞানের লোক না হয়েও আমি প্রবন্ধটিতে সত্যেন বসুর উচ্চাভিলাষের প্রকাশ দেখে মুগ্ধ। যেকোন মৌলিক কাজেই উচ্চাভিলাষ দরকার হয়। তা ক্ষতিকর নয় কিন্তু জাতিগত ভাবে আমরা তাকে উপেক্ষা করতে অভ্যস্ত হয়ে পড়েছি। অথচ আইনস্টাইনের কাছে তা ঠিকই গুরুত্ব পেয়েছিলো। প্রবন্ধটি অনুবাদ করা হয়েছে, ইন্টারনেট থেকে সংগৃহিত একটি ইংরেজি অনুবাদ থেকে। পরিভাষা জনিত কারণে শরীফ বেশকিছু সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিল। কিন্তু সে অসুবিধাগুলো সত্ত্বেও অনুবাদ হয়েছে ঝরঝরে ও সাবলীল। পাঠক সহজেই লেখাটি পাঠ করতে পারবেন ও সবার জন্যই প্রবন্ধটির পাঠ একটি গুরুত্বপূর্ণ অভিজ্ঞতা হয়ে থাকবে।

গবেষণা প্রবন্ধটির বাংলা অনুবাদের ভূমিকা ও প্রেক্ষাপট লিখেছেন মেহেদী মাহমুদ চৌধুরী


কোয়ান্টাম থিওরির যাত্রা হয়েছে ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক এর ‘কৃষ্ণ-পৃষ্ঠ (ব্ল্যাক-বডি) বিকীরণে শক্তির বন্টন’ সূত্র দিয়ে। গত বিশ বছর ধরে এই সূত্রের বিকাশ পদার্থবিজ্ঞানের ‘শক্তি’ বিষয়ক ক্ষেত্রে ব্যাপক ফলপ্রসূ হয়েছে। ১৯০১ সালে এই সূত্র প্রকাশিত হবার পর থেকে এ পর্যন্ত অনেক পদ্ধতিতেই তার নির্ণয়ন প্রস্তাবিত হয়েছে। তবে সবার জানা আছে যে, কোয়ান্টাম তত্ত্বের মূল ধারনাগুলো সনাতন (ক্লাসিকাল) তড়িৎ-গতিবিদ্যার (ইলেক্ট্রো-ডাইনামিক্স) সূত্রে ফেলা যায়না। এ পর্যন্ত সব নির্ণয়নগুলোই নিম্নের সমীকরনটি ব্যবহার করেছেঃ
ρ_v dv = □((8πv^2 dv)/c^3 E,)
অর্থাৎ, কিভাবে বিকীরণ ঘনত্ব আর কম্পকের গড়-শক্তি পরস্পর সম্পর্কিত। সূত্রটির ডান দিকের প্রথম গুনাংক (ফ্যাক্টর) এসেছে ইথার এর স্বাধীনতার মাত্রা (ডিগ্রী অফ ফ্রীডম) এর ধারনা থেকে যা কেবল সনাতন তত্ত্ব দিয়েই উপনীত হওয়া সম্ভব। এ কারণে এই সমস্ত ডেরিভেশন কোনটাই সন্তোষজনক নয়। বলা বাহুল্য, এই আলোচ্য যৌক্তিক-ত্র‌ুটি বিবর্জিত একটা নির্ণয়ন পদ্ধতি বের করার জন্য এখনো প্রচেষ্টা চলে আসছে।
আইনস্টাইন একটা খুবই চমৎকার পদ্ধতি দিয়েছেন। উনি যথার্থই আগের সব নির্ণয়নগুলোর যৌক্তিক-ত্র‌ুটিটা বুঝেছেন, এবং এ কারণে উনি সনাতন তত্ত্ব থেকে স্বতন্ত্র পদ্ধতিতে সূত্রটায় উপনীত হতে চেয়েছেন। বিকীরণ বলয়ে অনুগুলোর পারস্পরিক শক্তি বিনিময়ের সহজ ধারনা থেকে উনি নিম্নের সমীকরনটি বের করেছেনঃ
ρ_v=α_mn/e^□((ϵ_m-ϵ_n)/kT- 1)
এখন এই সমীকরনকে প্লাঙ্ক-এর সূত্রের সাথে সামঞ্জস্যতা আনতে উনাকে দুটি তত্ত্ব ব্যবহার করতে হয়েছে –উইনের স্থানচ্যুতি (ডিসপ্লেসমেন্ট) সূত্র এবং বোর এর সমরূপতা নীতি (কারেসপন্ডেন্স প্রিন্সিপাল)। কিন্তু উইনের সূত্রও সনাতন তত্ত্বভিত্তিক আর কারেসপন্ডেন্স প্রিন্সিপাল বলে- কোয়ান্টাম তত্ত্ব বড় কোয়ান্টাম সংখ্যার বেলায় (যখন কক্ষপথ বড় আর শক্তির মাত্রাও বেশি) সনাতন তত্ত্বের সাথে এক হয়ে যায়।
উপরোক্ত সব ক্ষেত্রেই, নির্ণয়নগুলো আমার মতে যৌক্তিক দৃষ্টিকোণ থেকে যথার্থ নয়। বরং, বলবিদ্যা-পরিসংখানের (কোয়ান্টাম তত্ত্বের প্রয়োজনেই যার উৎপত্তি) সাথে আলো-কোয়ান্টাম প্রস্তাবনা মিলিয়ে সনাতন তত্ত্বের উপর নির্ভরশীলতা থেকেই প্ল্যাঙ্ক সূত্রের যথার্থ নির্ণয়ন সম্ভব। নিম্নে সেই পদ্ধতিটা আমি সংক্ষেপে বর্ণনা করবো।

ধরা যাক বিকীরণ একটা নির্দিষ্ট আয়তন Vতে সীমাবদ্ধ, আর ধরা যাক তার মোট শক্তি E। ধরি, বিভিন্ন ধরনের কোয়ান্টা প্রচুর পরিমানে বিদ্যমান, যার সংখ্যা Ns, প্রত্যেকের শক্তি hv8(s =0 to s = ∞)। মোট শক্তির হিসাব তবেঃ
E= ∑_s▒〖N_s hv_s=V∫▒〖ρ_v dv〗〗……(১)
সমীকরনের সমাধান পেতে প্রয়োজন Nsএর মান নির্ণয়, যা উপরন্তু ρ_vএর মান নির্ণয় করবে। আমরা যদি প্রতিটি পরিসংখ্যান বিন্যাসের সম্ভাব্যতাকে চিহ্নিত করি Nsএর মান দিয়ে, তাহলে সমাধানের শর্ত হল এই সম্ভাব্যতা সর্বোচ্চ হতে হবে, একই সাথে সমস্যাটি সমীকরন (১) এর শর্তেও আবদ্ধ। আমরা এখন এই সম্ভাব্যতার (প্রবাবিলিটি) মান নির্ণয় করবো।
একটি কোয়ান্টামের গতি বরাবর তার ভরবেগ (hv_s)/c। কোয়ান্টামের তাৎক্ষনিক অবস্থা চিহ্নিত করা যায় তার অবস্থানের স্থানাংক(x, y, z) আর প্রতি অক্ষ বরাবর তার ভরবেগের উপাংশ বা কম্পোনেন্ট (px, py, pz) দিয়ে। এই ছয়টি রাশিকে একটা ছয়-মাত্রিক পরিসরের স্থানাংক ধরে নিলে আমরা পাইঃ
p_(x^2 )+ p_(y^2 )+ p_(z^2 )=〖h^2 v〗^2/c^2 ,

ফলস্বরূপ, একটা কোয়ান্টাম বিন্দু একটা বেলনাকৃতি (সিলিন্ডার) পৃষ্ঠে আবদ্ধ থাকে, যা তার কম্পাংক (ফ্রিকোয়েন্সি) দ্বারা নির্ণীত। এই ধারনা অনুযায়ী কম্পাংকর সীমা d_(v_s ) এর মাঝে তার দশার (ফেয) সমীকরন হবে,

〖∫▒〖〖dxdydzdp〗_x 〖dp〗_y 〗 〖dp〗_z=V.4π(h_v/c)^2 hd〗_v/c =4π.h^3           v^3/c^3.V.dv
আমরা যদি পুরো দশা-র আয়তনকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র h^3 আকারের কোষে ভাগ করি, কম্পাংকের সীমা h_vএর মাঝে আমরা মোট 〖4π.v^2/c^3.d〗_v টি এইরকম কোষ পাই। এভাবে দশার আয়তনকে ভাগ করার পদ্ধতির ব্যাপারে নির্দিষ্ট করে কিছু বলা যায়না। তবে মোট কোষের সংখ্যা অবশ্যই একটা কোয়ান্টামকে যত সম্ভাব্য স্থানে ওই আয়তনে পাওয়া যেতে পারে তার সমান ধরে নিতে হবে। পোলারাইজেশনকে হিসাবে আনতে হলে দেখা যায় যে সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে গুন করতে হবে, যাতে আমরা d_vআয়তনে মোট 〖8πVv^2 dv/c^3〗_ টি কোষ পেতে পারি।
এখন খুব সহজেই একটা কোয়ান্টার (সামষ্টিক আঙ্গিকে (ম্যাক্রোস্কোপিকালি নির্ণীত) অবস্থার তাপগতিবিদ্যা ভিত্তিক সম্ভাব্যতা নির্ণয় করা যায়। ধরা যাক, Nsটি কোয়ান্টা কম্পাংক সীমা 〖dv〗^sএর মাঝে বিদ্যমান। এই কোয়ান্টাগুলোকে এখন কত ভাবে কম্পাংকসীমা 〖dv〗^sএর কোষ গুলোর মধ্যে বিন্যাস করা যায়? ধরি খালি কোষের সংখ্যাp_0^s, মোট কোষের সংখ্যা যাদের একটা করে কোয়ান্টা আছে p_1^s, মোট কোষের সংখ্যা যাদের দুটি করে কোয়ান্টা আছে p_2^s, ইত্যাদি। এরকম সম্ভাব্য মোট বিন্যাসের সংখ্যাঃ
〖(A^s !)/(p_0^s !p_1^s !…)〗^ যেখানে, A^s= (8πv^2)/c^3 .Vdv^s
আর যেখানে 〖dv〗^sএর মাঝে মোট কোয়ান্টার সংখ্যা
N^s=0.p_0^s+ 1.p_1^s+ 2.p_(2 )^s+ …
স্পষ্টতই সমস্ত p_r^s দ্বারা চিহ্নিত অবস্থার সম্ভাবনা W=
∏▒(A^s !)/(sp_0^s !p_1^s…)
p_r^sকে অনেক বড় সংখ্যা ধরলে আমরা পাই,
log⁡〖W= ∑_s▒〖A^s logA^s-∑_s▒∑_r▒〖p_r^s logp_r^s 〗〗〗
যেখানে,
A^s= ∑_r▒p_r^s
এই সমাধানটির সর্বোচ্চ মান পাওয়া যাবে নিম্নের শর্ত থেকেঃ
E= ∑_s▒〖N^s hv^s; N^s= ∑_r=rp_r^s 〗
বিভিন্ন ভেদে বিবেচনা করে আমরা যে শর্তগুলো পাই,
∑_s▒∑_r▒〖〖δp〗_r^s (1+logp_r^s )=0, ∑▒〖δN〗^s 〗 hv^s=0
∑_r▒〖〖δp〗_r^s=0〗 δN^s= ∑_r▒〖r〖δp〗_r^s 〗
আর এদের থেকে আমরা পাই,
∑_r▒∑_s▒〖〖δp〗_r^s (1+log⁡〖p_r^s+ λ^s)〗 〗+ 1/β ∑_s▒〖r〖δp〗_r^s=0〗
এই সমীকরন থেকে আমরা দেখি
〖p_r^s= B〗^s e^(-(rhv^s)/β)
যেহেতু,
A^s=∑_r▒〖B^s e^(-(rhv^s)/β)= B^s (1-e^(-(hv^s)/β) 〗 )^(-1)
সুতরাং,
B^s= A^s (1-e^(-(hv^s)/β))
আমরা আরো পাই,
N^s= ∑_r▒r p_r^s= ∑_r▒r A^s (1-e^(-(hv^s)/β) ) e^(-(rhv^s)/β)= (A^s e^(-(hv^s)/β))/(1-           e^((hv^s)/β) )
উপরের সমীকরন থেকে পাওয়া Asএর মান বিবেচনা করলে আমরা পাই,
E= ∑_s▒(8πhv^s3 dv^s)/c^3 V e^(-(hv^s)/β)/(1-e^(hv^s/β) )
এর আগের সমাধানটি ব্যবহার করে,
S=k[E/β-∑_s▒〖A^s log⁡(1-e^((hv^s)/β))〗]
যেহেতু,
∂S/∂E= 1/T
আমরা পাই,
β=kT
অতএব,
E= ∑_S▒(8πhv^s3)/c^3 V 1/e^((hv^s)/kT- 1) dv^s
যা হচ্ছে প্ল্যাঙ্ক এর সূত্র।

(আইন্সটাইনের মন্তব্য – আমার কাছে মনে হচ্ছে, বসুর এই প্ল্যাঙ্ক সূত্রের নির্ণয়ন একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ। আমি পরে দেখাব কিভাবে উপরোক্ত পদ্ধতি দিয়ে আদর্শ গ্যাসের কোয়ান্টাম তত্ত্ব পাওয়া যেতে পারে।)

আরো পড়তে পারেন

একাত্তরের গণহত্যা প্রতিহত করা কি সম্ভব ছিল?

২৫ মার্চ কালরাতে বাঙালি জাতির স্বাধিকারের দাবিকে চিরতরে মুছে দিতে পাকিস্তানি নরঘাতকেরা যে নৃশংস হত্যাকান্ড চালিয়েছিল, তা বিশ্ব ইতিহাসে চিরকাল কলঙ্কময় অধ্যায় হিসেবে চিহ্নিত হয়ে থাকবে। ওই এক রাতেই শুধুমাত্র ঢাকা শহরেই ৭ হাজারেরও বেশি মানুষকে হত্যা করা হয়। গ্রেফতার করা হয় প্রায় তিন হাজার। এর আগে ওই দিন সন্ধ্যায়, বঙ্গবন্ধুর সঙ্গে সমঝোতা আলোচনা একতরফাভাবে….

ভাষা আন্দোলনে সাম্রাজ্যবাদবিরোধী চেতনা

আগের পর্বে পড়ুন— চূড়ান্ত পর্যায় (১৯৫৩-১৯৫৬ সাল) ভাষা আন্দোলন পাকিস্তানের সাম্রাজ্যবাদী আচরণের বিরুদ্ধে প্রথম প্রতিবাদ ও একটি সার্থক গণআন্দোলন। এই গণআন্দোলনের মূল চেতনা বাঙালী জাতীয়তাবাদ। জাতীয়তাবাদ হলো দেশপ্রেম থেকে জাত সেই অনুভূতি, যার একটি রাজনৈতিক প্রকাশ রয়েছে। আর, বাঙালি জাতিসত্তাবোধের প্রথম রাজনৈতিক প্রকাশ বায়ান্নর ভাষা আন্দোলন। ১৯৪৭ সালে দেশ বিভাগের ফলে দুই হাজার মাইল দূরত্বের….

চূড়ান্ত পর্যায় (১৯৫৩-১৯৫৬ সাল)

আগের পর্বে পড়ুন— বায়ান্নর ঘটনা প্রবাহ একুশের আবেগ সংহত থাকে ১৯৫৩ খ্রিস্টাব্দেও। সর্বদলীয় রাষ্ট্রভাষা সংগ্রাম পরিষদের আহ্বায়ক আতাউর রহমান খান এক বিবৃতিতে ২১ শে ফেব্রুয়ারিকে শহিদ দিবস হিসেবে পালনের ঘোষণা দেন। আওয়ামি লীগের ভারপ্রাপ্ত সম্পাদক শেখ মুজিবুর রহমানও ২১ শে ফেব্রুয়ারিকে শহিদ দিবস হিসেবে পালনের আহ্বান জানান। ১৮ ফেব্রুয়ারি সংগ্রাম কমিটির সদস্য যারা বিশ্ববিদ্যালয়ের ছাত্র….

error: Content is protected !!